Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=45°，易證MN=AM+CN

⑴ 如圖2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD， 點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=∠ABC ,試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數量關系？請寫出猜想，并給予證明．

⑵ 如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數量關系？請直接寫出猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）MN=AM＋CN，證明見解析（2）MN=CN－AM

【解析】

（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根據等腰梯形的性質可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM繞點B順時針旋轉90°，點A與點C重合，點M到達點M′，根據旋轉變換的性質，△ABM和△CBM′全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后證明M′、C、N三點共線，再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）在∠CBN內部作∠CBM′=∠ABM交CN于點M′，然后證明∠C=∠BAM，再利用“角邊角”證明△ABM和△CBM′全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，再證明∠MBN=∠M′BN，利用“邊角邊”證明△MBN和△M′BN全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=M′N，從而得到MN=CN-AM．

（1）MN=AM+CN．

理由如下：

如圖，∵BC∥AD，AB=BC=CD，

∴梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠A+∠BCD=180°，

把△ABM繞點B順時針旋轉使AB邊與BC邊重合，則△ABM≌△CBM′，

∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，

∴∠BCM′+∠BCD=180°，

∴點M′、C、N三點共線，

∵∠MBN=∠ABC，

∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=∠ABC，

∴∠MBN=∠M′BN，

在△BMN和△BM′N中，

∵，

∴△BMN≌△BM′N（SAS），

∴MN=M′N，

又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，

∴MN=AM+CN；

（2）MN=CN-AM．

理由如下：如圖，作∠CBM′=∠ABM交CN于點M′，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，

又∵∠BAD+∠BAM=180°，

∴∠C=∠BAM，

在△ABM和△CBM′中，

，

∴△ABM≌△CBM′（ASA），

∴AM=CM′，BM=BM′，

∵∠MBN=∠ABC，

∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=∠ABC，

∴∠MBN=∠M′BN，

在△MBN和△M′BN中，

∵，

∴△MBN≌△M′BN（SAS），

∴MN=M′N，

∵M′N=CN-CM′=CN-AM，

∴MN=CN-AM．