Question

【題目】如圖，△DAC 和△EBC 均是等邊三角形，A，C，B 三點在一條直線上，AE，BD 分別與 CD、CE 交于點 M、N，AE，BD 相交于點 O.

（1）求證：△ACE ≌△DCB;

（2）求∠AOD 的度數

（3）判斷△CMN 的形狀并說明理由。

Answer 1

【答案】(1)見詳解；（2）60°；（3）見詳解.

【解析】

（1）欲證三角形全等，利用全等的條件進行判定即可；因為△DAC和△ECB均為等邊三角形，即有∠ACD=∠ECB=60°，再注明即可得出∠ACD=∠DCB，利用邊的關系，即可得證△ACE≌△DCB；
（2）由全等三角形的性質和三角形的外角性質即可得出結果；

（3）先證△MCE≌△NCB,從而得到MC=NC，再根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷△CMN 的形狀是等邊三角形.

（1）證明：∵△DAC是等邊三角形，
∴AC=DC，∠ACD=60°，
∵△BCE為等邊三角形，
∴CE=CB，∠ECB=60°，
∴∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，

，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；

(2)解：∵△ACE≌△DCB，

∴∠AEC=∠ABD.

∵∠AEC+∠BAO=∠BCE=60°

∴∠ABD +∠BAO=∠BCE=60°，

∵∠ABD +∠BAO=∠AOD，

∴∠AOD=60°.

（3）解：△CMN是等邊三角形，理由如下：

∵△ACE≌△DCB，

∴∠AEC=∠ABD.

在△MCE和△NCB中，

∴△MCE≌△NCB（ASA）

∴CM=CN,

∵

∴△CMN是等邊三角形.