Question

【題目】如圖，在矩形中，點為的中點，交于點，連接，下列結論：

①；

②；

③；

④若，則.

其中正確的結論是______________.(填寫所有正確結論的序號)

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據矩形的性質和余角的性質可判斷①；延長CB，FE交于點G，根據ASA可證明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，進一步即可求得AF、BC與CF的關系，S△CEF與S△EAF+S△CBE的關系，進而可判斷②與③；由，結合已知和銳角三角函數的知識可得，進一步即可根據AAS證明結論④；問題即得解決．

解：∵，，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴，

，所以①正確；

延長CB，FE交于點G，如圖，

在△AEF和△BEG中，∵∠FAE=∠GBE=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG，

∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF=BG，EF=EG，∴S△CEG=S△CEF，

∵CE⊥EG，∴CG=CF，∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，所以②錯誤；

∴S△CEF=S△CEG=S△BEG+S△CBE=S△EAF+S△CBE，所以③正確；

若，則，，，

在和中，∵∠CEF=∠D=90°，，CF=CF，≌，所以④正確．

綜上所述，正確的結論是①③④．

故答案為：①③④．