Question

【題目】閱讀材料：

材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2則x1+x2＝﹣，x1x2＝．

材料2 已知實數m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．

解：由題知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實數根，根據材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以＝﹣3．

根據上述材料解決以下問題：

（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的兩個根為x1，x2，則x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．

（2）類比探究：已知實數m，n滿足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：

（3）思維拓展：已知實數s、t分別滿足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1．求的值．

Answer 1

【答案】（1）-2，-；（2）﹣；（3）﹣．

【解析】

（1）直接利用根與系數的關系求解；

（2）把m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，利用根與系數的關系得到m+n＝1，mn＝﹣，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2＝mn（m+n），然后利用整體的方法計算；

（3）先把t2+99t+19＝0變形為19（）2+99+1＝0，則把實數s和可看作方程19x2+99x+1＝0的兩根，利用根與系數的關系得到s+＝﹣，s＝，然后變形為s+4+，再利用整體代入的方法計算．

解：（1）x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝﹣；

故答案為﹣2；﹣；

（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，

∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，

∴m+n＝1，mn＝﹣，

∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；

（3）把t2+99t+19＝0變形為19（）2+99+1＝0，

實數s和可看作方程19x2+99x+1＝0的兩根，

∴s+＝﹣，s＝，

∴＝s+4+＝﹣+4×＝﹣．