Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線y＝﹣2x2+bx+c過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D，拋物線的頂點為M，其對稱軸交AB于點N．

（1）求拋物線的表達式及點M、N的坐標；

（2）是否存在點P，使四邊形MNPD為平行四邊形？若存在求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+2x+4， M，N，（2）存在，P．

【解析】

（1）先由直線解析式求出A，B的坐標，再利用待定系數法可求出拋物線解析式，可進一步化為頂點式即可寫出頂點M的坐標并求出點N坐標；

（2）先求出MN的長度，設點P的坐標為（m，﹣2m+4），用含m的代數式表示點D坐標，并表示出PD的長度，當PD＝MN時，列出關于m的方程，即可求出點P的坐標．

（1）∵直線y＝﹣2x+4分別交x軸，y軸于點A，B，

∴A（2，0），B（0，4），

把點A（2，0），B（0，4）代入y＝﹣2x2+bx+c，得

，

解得，，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x﹣）2+，

∴頂點M的坐標為（，），

當x＝時，y＝﹣2×+4＝3，

則點N坐標為（，3）；

（2）存在點P，理由如下：

MN＝﹣3＝，

設點P的坐標為（m，﹣2m+4），

則D（m，﹣2m2+2m+4），

∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，

∵PD∥MN，

∴當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，

即﹣2m2+4m＝，

解得，m1＝，m2＝（舍去），

∴此時P點坐標為（，1）．