Question

【題目】已知，D、E分別為等邊三角形ABC邊上的點，AD=CE，BD、AE交于N，BM⊥AE于M．

證明：
（1）∠CAE=∠ABD；
（2）MN= BN．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖所示：

∵△ABC為等邊三角形，

∴AC=AB，∠BAC=∠C=60°，

在△ABD和△CAE中， ，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴∠CAE=∠ABD

（2）

證明：由（1）得∠CAE=∠ABD， ∵∠CAE+∠BAE=60°，
∴∠BAE+∠ABD=60°
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=60°，
∵BM⊥AE，
∴∠BMN=90°，
∴∠MBN=30°，
∴MN= BN．

【解析】（1）與等邊三角形的性質得出AC=AB，∠BAC=∠C=60°，由SAS證明△ABD≌△CAE，得出∠CAE=∠ABD即可；
（2）由（1）得∠CAE=∠ABD，求出∠BNM=∠BAN+∠ABN=60°，得出∠BMN=90°，∠MBN=30°，由含30°角的直角三角形的性質即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題．