Question

【題目】如圖，點O是平面直角坐標系的原點，點A（，3），AC⊥OA與x軸的交點為C．動點M以每秒個單位長度由點A向點O運動．同時，動點N以每秒3個單位長度由點O向點C運動，當一動點先到終點時，另一動點立即停止運動．

（1）寫出∠AOC的值；

（2）用t表示出四邊形AMNC的面積；

（3）求點P的坐標，使得以O、N、M、P為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）；（3）.

【解析】

（1）如圖1中，作AH⊥OC于H．在Rt△AOH中，解直角三角形求出∠AOH即可解決問題．

（2）作MK⊥BC于K．根據S四邊形AMNC＝S△OAC﹣S△OMN，計算即可．

（3）分別考慮以OM，ON，MN為平行四邊形的對角線，利用平行四邊形的性質求解即可．

解：（1）如圖1中，作AH⊥OC于H．

∵A（，3），

∴OH＝，AH＝3，

∴tan∠AOH＝＝，

∴∠AOH＝60°，

∵OA⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∴∠ACO＝30°．

（2）作MK⊥BC于K．

在Rt△AOH中，∵OH＝，∠OAH＝30°，

∴OA＝2OH＝2，

在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝2，

∴AC＝OA＝6，

∵OM＝t，

∴MK＝OMsin60°＝t，

∴S四邊形AMNC＝S△OAC﹣S△OMN

＝OAAC﹣ONMKa

＝×2×6﹣×3t×t

＝6﹣t2（0＜t＜2）．

（3）當四邊形CNMP1是平行四邊形時，P1（t﹣3t，t）．

當四邊形ONP2M是平行四邊形時，P2（t+3t，t）．

當四邊形OMNP3是平行四邊形時，P3（3t﹣t，﹣t）．