Question

若x₁，x₂是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x₁，x₂和系數a，b，c有如下關系：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．我們把它們稱為根與系數關系定理．
如果設二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x₁，0），B（x₂，0）．利用根與系數關系定理我們又可以得到A、B兩個交點間的距離為：
AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2- 4c a

=

b2-4ac a2

=

b2-4ac

|a|

請你參考以上定理和結論，解答下列問題：
設二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x₁，0），B（x₂，0），拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形．
（1）當△ABC為等腰直角三角形時，求b²-4ac的值；
（2）當△ABC為等邊三角形時，b²-4ac=

 

；
（3）設拋物線y=x²+kx+1與x軸的兩個交點為A、B，頂點為C，且∠ACB=90°，試問如何平移此拋物線，才能使∠ACB=60°？

Answer 1

分析：（1）由于拋物線與x軸有兩個不同的交點，所以b²-4ac＞0；套用材料中的公式可求得線段AB的表達式，利用公式法可得到頂點C的縱坐標，進而求得斜邊AB上的高（設為CD），若△ABC為等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根據這個等量關系求出b²-4ac的值．
（2）方法同（1），只不過AB、CD的等量關系為：

3

AB=2CD．
（3）若要改變∠ACB的大小，就必須向上或向下平移拋物線；首先根據（1）題的結論求出k的值，然后設出平移后的拋物線解析式，進而套用（2）的結論求出平移的距離，由此確定平移方案．

解答：解：（1）當△ABC為等腰直角三角形時，過C作CD⊥AB于D，則AB=2CD；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△＞0，
∴|b²-4ac|=b²-4ac，
∵AB=

b2-4ac

|a|

，
又∵CD=

b2-4ac

4|a|

，a≠0，
∴

b2-4ac

=

b2-4ac

2

，
即

b2-4ac

=

(b2-4ac)2 4

，
∴b²-4ac=

(b2-4ac)2

4

，
∵b²-4ac≠0，
∴b²-4ac=4．

（2）當△ABC為等邊三角形時，b²-4ac=12．（解法同（1）．）

（3）∵∠ACB=90°，
∴b²-4ac=4，即k²-4=4，
∴k=±2

2

；
因為向左或向右平移時∠ACB的度數不變，
所以只需將拋物線y=x²±2

2

x+1向上或向下平移使∠ACB=60°，然后向左或向右平移任意個單位即可．
設向上或向下平移后的拋物線的解析式為：
y=x²±2

2

x+1+m，
∵平移后∠ACB=60°，
∴b²-4ac=12，
∴m=-2，
∴拋物線y=x²+kx+1向下平移2個單位后，向左或向右平移任意個單位都能使∠ACB的度數由90°變為60°．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，用公式法求拋物線頂點坐標的方法以及直角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形的性質，解決此題的關鍵是讀懂題意，弄清題目所給公式的含義．