Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦AC平分∠DAB，過點C作直線CD，使得CD⊥AD于D．

（1）求證：直線CD與⊙O相切；

（2）若AD=3，AC=，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點；

（2）連接BC，根據圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質即可解決問題．

試題解析：（1）連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，，∴OC⊥CD．

又∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD與⊙O相切于點C

（2）連接BC，則∠ACB=90°．∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，∴，∴AB==4．