Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．點P從點A出發，以3cm／s的速度沿折線ABCD方向運動，點Q從點D出發，以2cm／s的速度沿線段DC向點C運動．已知P，Q兩點同時出發，當點Q到達點C時，P，Q停止運動，設運動時間為t（s）．

(1)、求CD的長．

(2)、當四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長．

(3)、當點P在折線BCD上運動時，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為16cm2？若存在，請求出滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)16cm；(2)（8＋8）cm；(3)或6或

【解析】

試題分析：(1)過點A作AM∥BC交DC于M，根據平行四邊形的性質得出MC＝AB＝10cm，AM＝BC＝8cm；根據Rt△ADM的勾股定理求出DM的長度，然后得出答案；(2)當四邊形PBQD為平行四邊形時，PB∥DQ且PB＝DQ，根據題意得出PB＝（10－3t）cm，DQ＝2tcm，從而求出t的值，然后得出四邊形的周長；(3)分三種情況進行求解，①若點P在線段BC上，則＜t≤6；②若點P在線段CD上，且點P在點Q的右側，則6≤t＜；③若點P在線段CD上，且點P在點Q的左側，則＜t≤8，根據三角形的面積列出方程，求出t的值.

試題解析：(1)過點A作AM∥BC交DC于M（如圖）

∵AB∥CD，∴四邊形ABCM是平行四邊形． ∴MC＝AB＝10cm，AM＝BC＝8cm．

∵∠BCD＝90°，∴∠AMD＝90°． ∵AD＝10cm，∴DM＝＝＝6（cm）．

∴CD＝DM＋MC＝10cm＋6cm＝16cm．

(2)當四邊形PBQD為平行四邊形時，PB∥DQ且PB＝DQ． ∵點Q在DC上，∴點P在AB上（如圖）．

∴0＜t＜．

由題意得PB＝（10－3t）cm，DQ＝2t（cm），∴10－3t＝2t．解得t＝2（符合題意）．

此時DQ＝4 cm，∴QC＝12 cm．∴BQ＝＝＝4（cm）．

∴四邊形PBQD的周長＝2（BQ＋DQ）＝（8＋8）cm．

(3)分以下三種情況討論：

①若點P在線段BC上（如圖），則＜t≤6．

此時BP＝3t－10，CQ＝16－2t， 由S△BPQ＝BPCQ＝（3t－10）（16－2t）＝16，得3t2－34t＋96＝0．

∵△＝（－34）2－4×3×96＝4，∴t＝＝．∴t＝6或（符合題意）．

②若點P在線段CD上，且點P在點Q的右側（如圖），則6≤t＜．

此時QP＝34－5t． 由S△BPQ＝QPBC＝（34－5t）×8＝16，解得t＝6（符合題意）．

③若點P在線段CD上，且點P在點Q的左側（如圖），則＜t≤8．

此時PQ＝5t－34． 由S△BPQ＝PQBC＝（5t－34）×8＝16，解得t＝（符合題意）．

綜上，存在符合題意的時刻，即t的值為，或6，或．