Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E是對角線AC上的一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交AB于點F，連接DF交AC于點G，下列結論：

①DE＝EF；②∠ADF＝∠AEF；③DG2＝GEGC；④若AF＝1，則EG＝，其中結論正確的個數是（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

證明△DCE≌△BCE，得DE＝BE，證出EF＝BE，則結論①正確；易證∠EDF＝∠DFE＝45°，又∠DAC＝45°，∠AGD＝∠EGF，則∠ADF＝∠AEF，故②正確；證出△DGE∽△CGD，由比例線段可得出結論DG2＝GEGC，③正確；先求出CE長，將△DEC繞點A逆時針旋轉90°得到△DMA，連接MG，易證△DMG≌△DEG，△AMG是直角三角形，得出EG2＝AG2+CE2，設EG＝x，則列出方程可求出EG＝，則④正確．

解：如圖，連接BE，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，

在△BEC和△DEC中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，

∴∠ADE＝∠ABE，

∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°，

∴∠ADE+∠AFE＝180°，

∵∠AFE+∠EFB＝180°，

∴∠ADE＝∠EFB，

∴∠ABE＝∠EFB，

∴EF＝BE，

∴DE＝EF，故①正確；

∵∠DEF＝90°，DE＝EF，

∴∠EDF＝∠DFE＝45°，

∵∠DAC＝45°，∠AGD＝∠EGF，

∴∠ADF＝∠AEF，故②正確；

∵∠GDE＝∠DCG＝45°，∠DGE＝∠CGD，

∴△DGE∽△CGD，

∴，

即DG2＝GECG，故③正確；

如圖，過點E作EN⊥AB于點N，

∵AF＝1，AB＝3，

∴BF＝2，AC＝，

∵BE＝EF，

∴FN＝BN＝1，

∴AN＝2，

∴，

∴，

將△DEC繞點A逆時針旋轉90°得到△DMA，連接MG，

易證△DMG≌△DEG（SAS），△AMG是直角三角形，

∴MG＝GE，

∴MG2＝EG2＝AM2+AG2＝CE2+AG2，

設EG＝x，則AG＝，

∴，

解得：x＝，即EG＝，故④正確．

故選：D．