Question

【題目】對于平面直角坐標系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點，為圖形上任意一點，如果線段的長度有最小值，那么稱這個最小值為圖形，的“近距”，記作；如果線段的長度有最大值，那么稱這個最大值為圖形，的“遠距”，記作．

已知點，．

（1）（點，線段）______，（點，線段）______；

（2）一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，若（線段，線段），

①求的值；

②直接寫出（線段，線段）______；

（3）的圓心為，半徑為1．若（線段），請直接寫出（，線段）的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3，5；（2）①； ②；（3）（，線段）．

【解析】

（1）由圖可知O到A的距離最小，O到B的距離最大，求出相應距離即可；、

（2）根據題意判斷為等腰直角三角形，可得，得到OC=OD，求得點C坐標，從而得到k的值；根據線段CD與線段AB的位置關系，得到BC間距離即為所求；

（3）通過對在軸上的位置的討論，即可得到（，線段）的取值范圍

（1）作圖如下：

A（0,3），B（4,3）

∴OA=3，AB=4

∴點O到線段AB上的點A的距離最短，OA=3；

∴點O到線段AB上的點B的距離最大，；

（2）①過點A作于點E，

則（線段，線段），

直線與y軸交點為，

與x軸交點C在x軸負半軸，

．

．

．

點C的坐標為．

．

②由圖可知，線段CD上一點，到線段AB上一點的距離的最大值為BC的長度，作圖如下：

∴

故答案為：

（3）作圖如下：

若在點A的左側，則，，則，即T（）

此時（，線段）=

若在點AB中間，當圓心T為AB中垂線與軸交點，即T（），

此時（，線段）最小，即（，線段）=

故答案為：（，線段）．