Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，已知∠D=30°．

（1）求∠A的度數；
（2）若點F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF= ，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵CD切⊙O于點C

∴∠OCD=90°

∵∠D=30°

∴∠COD=60°

∵OA=OC

∴∠A=∠ACO=30°

（2）解：∵CF⊥直徑AB，CF=

∴CE=

∴在Rt△OCE中，tan∠COE= ，

OE= = =2，

∴OC=2OE=4

∴S扇形BOC= ，

∴S陰影=S扇形BOC﹣S△EOC= ．

【解析】（1）連接OC，則△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度數；由于∠A與∠COD是同弧所對的圓周角與圓心角．根據圓周角定理即可求得∠A的度數；（2）由圖可知：陰影部分的面積是扇形OCB和Rt△OEC的面積差；那么解決問題的關鍵是求出半徑和OE的長；在Rt△OCE中，∠OCE=∠D=30°，已知了CE的長，通過解直角三角形，即可求出OC、OE的長，由此得解．
【考點精析】利用切線的性質定理和扇形面積計算公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．