Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點F是⊙O上一點，且＝，連接FB，FD，FD交AB于點N．

（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半徑；

（2）求證：△BNF為等腰三角形；

（3）連接FC并延長，交BA的延長線于點P，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點M．求證：ONOP＝OEOM．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）連接BC，AC，AD，通過證明△ACE∽△CEB，可得，可求BE的長，即可求⊙O的半徑；

（2）通過證明△ADE≌△NDE，可得∠DAN＝∠DNA，即可證BN＝BF，可得△BNF為等腰三角形；

（3）通過證明△ODE∽△ODM，可得DO2＝OEOM，通過證明△PCO∽△CNO，可得CO2＝POON，即可得結論．

解：（1）如圖1，連接BC，AC，AD，

∵CD⊥AB，AB是直徑

∴，CE＝DE＝CD＝3

∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB

∴△ACE∽△CEB

∴,即,

∴BE＝9

∴AB＝AE+BE＝10

∴⊙O的半徑為5

（2）∵，

∴∠ACD＝∠ADC＝∠CDF，且DE＝DE，∠AED＝∠NED＝90°

∴△ADE≌△NDE（ASA）

∴∠DAN＝∠DNA，AE＝EN

∵∠DAB＝∠DFB，∠AND＝∠FNB

∴∠FNB＝∠DFB

∴BN＝BF，

∴△BNF是等腰三角形

（3）如圖2，連接AC，CE，CO，DO，

∵MD是切線，

∴MD⊥DO，

∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE

∴△MDO∽△DEO

∴，

∴OD2＝OEOM

∵AE＝EN，CD⊥AO

∴∠ANC＝∠CAN，

∴∠CAP＝∠CNO，

∵，

∴∠AOC＝∠ABF

∵CO∥BF

∴∠PCO＝∠PFB

∵四邊形ACFB是圓內接四邊形

∴∠PAC＝∠PFB

∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE

∴△CNO∽△PCO

∴，

∴CO2＝PONO，

∴ONOP＝OEOM．