Question

【題目】如圖1，已知∠ABC= ,D是直線AB上的一點，AD=BC，連結DC.以DC為邊，在∠CDB的同側作∠CDE，使得∠CDE=∠ABC，并截取DE=CD，連結AE.

(1)求證:;并判斷AE和BC的位置關系，說明理由；

(2)若將題目中的條件“∠ABC=900”改成“∠ABC=x0(0<x<180)”,

①結論“”還成立嗎?請說明理由；②試探索:當的值為多少時，直線AE⊥BC.

Answer 1

【答案】（1）見解析，AE∥BC，見解析；（2）①成立，見解析；②x=45°或135°時，AE⊥BC．

【解析】

(1)根據已知條件得到∠CBD=90°，根據全等三角形的判定定理得到Rt△BDC≌Rt△ADE，由全等三角形的性質得到∠A=∠CBD=90°，即可得到結論；

(2)①根據三角形外角的性質得∠C=∠ADE，根據全等三角形的判定定理即可得到△BDC≌△AED；

②如圖2，延長EA交BC于F，根據全等三角形的性質得到∠DBC=∠EAD然后根據等腰直角三角形的性質即可得到結論；如圖3時，同理得到∠ABC=135°，由此即可得答案.

(1)AE∥BC，

理由：∵∠CDE=∠ABC=90°，

∴∠CBD=90°，

在Rt△BDC與Rt△AED中，

，

∴Rt△BDC≌Rt△AED，

∴∠A=∠CBD=90°，

∴∠A=∠ABC=90°，

∴AE∥BC；

(2)①成立，∵∠CDE=∠ABC=x°，

∴∠C+∠CDB=∠ADE+∠CDB=x°，

∴∠C=∠ADE，

在△BDC與△AED中，

，

∴△BDC≌△AED；

②如圖2，延長EA交BC于F，

∵△BDC≌△AED，

∴∠DBC=∠EAD，

∴∠FAB=∠ABF，

∴當AE⊥BC時，

即∠AFB=90°，

∴∠FAB+∠ABF=90°，

∴∠ABC=45°，

如圖3，同理得到∠ABC=135°，

∴當x=45或135°時，AE⊥BC．