Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，過點D垂直于AC的直線交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）如圖AD=5，AE=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】（1）證明：如圖，連接OD，

∵AD為∠CAB的平分線，∴∠CAD=∠BAD。

又OA=OD，∴∠BAD=∠ODA。∴∠CAD=∠ODA。

∴AC∥OD。∴∠E+∠EDO=180°。

又AE⊥ED，即∠E=90°，∴∠EDO=90°。

∴OD為圓O的切線。

（2）解：如圖，連接BD，

∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°。

在Rt△AED中，AE=4，AD=5，∴。

又∵∠EAD=∠DAB，在Rt△ABD中，∴。

∴，即圓的直徑為。

（1）連接OD，由AD為角平分線，得到一對角相等，再由OA=OD，得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，根據內錯角相等兩直線平行可得AC∥OD，由兩直線平行同旁內角互補，得到∠E與∠EDO互補，再由∠E為直角，可得∠EDO為直角，即DE為圓O的切線。

（2）連接BD，由AB為⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角的性質，得到∠ADB=90°。在Rt△AED中，由AE和AD的長，根據銳角三角函數定義求出cos∠EAD。又在Rt△ABD中，根據銳角三角函數定義得到，即可求出直徑AB的長。