Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．

（1）求證：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】證明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，

∴∠EQN=∠BHM=90°．

∵∠EMQ=∠BMH，

∴△EMQ∽△BMH，

∴∠QEM=∠HBM．

在Rt△APB與Rt△HFE中，

，

∴△APB≌△HFE，

∴HF=AP；

（2）

解：由勾股定理得，BP=．

∵EF是BP的垂直平分線，

∴BQ=BP=，

∴QF=BQtan∠FBQ=BQtan∠ABP=×=．

由1知，△APB≌△HFE，

∴EF=BP=，

∴EQ=EF﹣QF=﹣=．

【解析】（1）先根據EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根據∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結論；
（2）由勾股定理求出BP的長，根據EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再根據銳角三角函數的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根據EQ=EF﹣QF即可得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)的相關知識才是答題的關鍵．