Question

【題目】我們規定：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱這個三角形為“智慧三角形”．

理解：

（1）如圖1，已知A、B是⊙O上兩點，請在圓上找出滿足條件的點C，使△ABC為“智慧三角形”（畫出點C的位置，保留作圖痕跡）；

（2）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，點Q是直線y＝3上的一點，若在⊙O上存在一點P，使得△OPQ為“智慧三角形”，當其面積取得最小值時，直接寫出此時PQ的長和點Q的坐標

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），Q(0,3)

【解析】

（1）連結BO并且延長交圓于C1，連結AO并且延長交圓于C2，即可求解；

（2）根據“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，根據題意可得一條直角邊為1，當斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，從而得到點Q坐標，再根據勾股定理可求另一條直角邊即PQ長．

解：（1）如圖所示，過直徑做△ABC即可；

（2）如圖所示：

由“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，

根據題意可得一條直角邊OP＝1，

∴PQ最小時，△POQ的面積最小，

根據勾股定理可知，當斜邊OQ最短時，PQ最小，面積取得最小值，

由垂線段最短可得斜邊最短為3，即OQ=3，

∴Q（0，3），

由勾股定理可得PQ＝＝，

∴當面積取得最小值時，點Q的坐標為(0，3)，PQ的長為.