Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，動點P在線段BC上，點Q在線段AB上，且PQ＝BQ，延長QP交射線AC于點D．

（1）求證：QA＝QD；

（2）設∠BAP＝α，當2tanα是正整數時，求PC的長；

（3）作點Q關于AC的對稱點Q′，連結QQ′，AQ′，DQ′，延長BC交線段DQ′于點E，連結AE，QQ′分別與AP，AE交于點M，N（如圖2所示）．若存在常數k，滿足kMN＝PEQQ′，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）PC的長為或（3）8

【解析】

（1）由等腰三角形的性質得出∠B＝∠BPQ＝∠CPD，由直角三角形的性質得出∠BAC＝∠D，即可得出結論；

（2）過點P作PH⊥AB于H，設PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由題意知tanα＝1或，當tanα＝1時，HA＝PH＝3x，與勾股定理得出3x+4x＝5，解得x＝，即可求出PC長；

當tanα＝時，HA＝2PH﹣6x，得出6x+4x＝5，解得x＝，即可求出PC長；

（3）設QQ′與AD交于點O，由軸對稱的性質得出AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，得出四邊形AQDQ′是菱形，由菱形的性質得出QQ′⊥AD，AO＝AD，證出四邊形BEQ'Q是平行四邊形，得出QQ′＝BE，設CD＝3m，則PC＝4m，AD＝3+3m，即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，由三角函數得出＝tan∠PAC＝，即可得出結果．

（1）證明：∵PQ＝BQ，

∴∠B＝∠BPQ＝∠CPD，

∵∠ACB＝∠PCD＝90°，

∴∠A+∠BAC＝90°，∠D+∠CPD＝90°，

∴∠BAC＝∠D，

∴QA＝QD；

（2）解：過點P作PH⊥AB于H，如圖1所示：

設PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，

由題意得：tan∠BAC＝，∠BAP＜∠BAC，

∴2tanα是正整數時，tanα＝1或，

當tanα＝1時，HA＝PH＝3x，

∴3x+4x＝＝5，

∴x＝，

即PC＝4﹣5x＝；

當tanα＝時，HA＝2PH﹣6x，

∴6x+4x＝5，

∴x＝，

即PC＝4﹣5x＝；

綜上所述，PC的長為或；

（3）解：設QQ′與AD交于點O，如圖2所示：

由軸對稱的性質得：AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，

∴四邊形AQDQ′是菱形，

∴QQ′⊥AD，AO＝AD，

∵BC⊥AC，

∴QQ′∥BE，

∵BQ∥EQ′，

∴四邊形BEQ'Q是平行四邊形，

∴QQ′＝BE，

設CD＝3m，則PC＝4m，AD＝3+3m，

即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，

∵＝tan∠PAC＝，

∴＝，

即MN＝2MO＝4m（1+m），

∴k＝＝＝8．