Question

【題目】已知，，直線經過點，作，垂足為，連接.

（感知）如圖①，點、在同側，且點在右側，在射線上截取，連接，可證，從而得出， ，進而得出 度．

（探究）如圖②，當點、在異側時，（感知）得出的的大小是否改變？若不改變，給出證明；若改變，請求出的大小.

（應用）在直線繞點旋轉的過程中，當 ，時，直接寫出的長.

Answer 1

【答案】45；不改變，證明見解析；或.

【解析】

[感知]證明△BCD≌△ECA（SAS）即可解決問題

[探究]結論不變，證明△BCD≌△ECA（SAS）即可解決問題．

[應用]分兩種情形分別求解即可解決問題．

[感知]，如圖1中，在射線AM上截取AE=BD，連結CE．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD=∠DBA=90°．

∴∠CDB+∠CAB=180°，

∵∠CAB+∠CAE=180°

∴∠D=∠CAE，∵CD=AC，AE=BD，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC=EC，∠BCD=∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠DCB=90°，

即∠ECB=90°，

∴∠ABC=45°．

故答案為45

[探究]不改變．理由如下：

如圖，如圖2中，在射線AN上截取AE=BD，連接CE，設MN與CD交于點O．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD=∠DBA=90°，

∵∠AOC=∠DOB，

∴∠D=∠EAC，CD=AC，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC=EC，∠BCD=∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠DCB=90°，

即∠ECB=90°，

∴∠ABC=45°．

[拓展]如圖①-1中，連接AD．

∴∠ACD+∠ABD=180°，

∴A，C，D，B四點共圓，

∴∠DAB=∠DCB=30°，

∴AB=BD=，

∴EB=AE+AB=+，

∵△ECB是等腰直角三角形，

∴BC=．

如圖②中，同法可得BC=-1．

綜上所述，BC的長為+1或-1．