Question

（2007•廣安）如圖，半圓O的直徑為AB，D是半圓上的一個動點（不與A、B重合），連接BD并延長至C，使CD=BD，過點D作半圓O的切線交AC于E點．
（1）猜想DE與AC的位置關系，并說明理由；
（2）當AB=6，BD=2時，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由切線的性質知，OD⊥DE；△ABC中，O、D分別為AB、BC的中點，即OD是△ABC的中位線，因此OD∥AC，由此可得DE⊥AC；
（2）連接AD，由圓周角定理知AD⊥BC，即AD是BC的垂直平分線；因此△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，易證得Rt△CED∽Rt△BDA，可得DE：CD=AD：AB；可在Rt△ABD中，用勾股定理求得AD的長，進而可根據上面的比例關系求出DE的長．
解答：解：（1）DE⊥AC，
理由：連接OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE．
∵BD=CD，OA=OB，
∴DE⊥AC．

（2）連接AD，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°又BD=DC=2．
∴AD是BC的垂直平分線．
∴AB=AC．
∴∠ABD=∠ACD．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ADB=∠CED．
∴Rt△ABD∽Rt△DCE．
∴DE•AB=AD•DC．
在Rt△ABD中，
AB=6，BD=2，
∴AD==4．
∴DE==．
點評：本題考查的知識點有：切線的性質、三角形中位線的性質、圓周角定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理等．