Question

已知a為正整數a=b-2005，若關于x的方程x²-ax+b=0有正整數解，則a的最小值是多少？
（溫馨提示：先設方程的兩根為x₁，x₂，然后…）

Answer 1

解：設方程的兩根分別為x₁，x₂，則
，
∵x₁，x₂，中有一個為正整數，則另一個也必為正整數，不妨設x₁≤x₂，則由上式，得
x₁•x₂-（x₁+x₂）=b-a=2005，
∴（x₁-1）（x₂-1）=2006=2×17×59，
∴x₁-1=2、x₂-1=17×59；x₁-1=2×17、x₂-1=59；或x₁-1=17，x₂-1=2×59，
∴x₁+x₂的最小值是2×17+59+1+1=95，即a的最小值是95．
分析：先設方程的兩根為x₁，x₂，然后利用根與系數的關系求得（x₁-1）（x₂-1）=2006=2×17×59；最后由條件“a為正整數、關于x的方程x²-ax+b=0有正整數解”求得x₁-1=2、x₂-1=17×59；
x₁-1=2×17、x₂-1=59；或x₁-1=17，x₂-1=2×59，從而推知a的最小值是93．
點評：本題考查了根與系數的關系．將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．