Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．

（1）利用尺規作線段AC的垂直平分線DE，垂足為E，交AB于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若△ADE的周長為a，先化簡T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．

Answer 1

【答案】(1)作圖見解析（2）10+.

【解析】分析：（1）垂直平分線的尺規作圖方法：先以A為圓心，以大于線段AC一半的長度畫弧，然后再以C為圓心，以相同長度為半徑畫弧，兩條圓弧交于兩點，連接該兩點的直線即為線段AC的垂直平分線。（2）先化簡，然后利用三角形的周長求出a，最后代入即可求得T的值。

詳解：（1）如圖所示，DE即為所求；

（2）由題可得，AE=AC=，∠A=30°，

∴Rt△ADE中，DE=AD，

設DE=x，則AD=2x，

∴Rt△ADE中，x2+（）2=（2x）2，

解得x=1，

∴△ADE的周長a=1+2+=3+，

∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，

∴當a=3+時，T=3（3+）+1=10+3．