Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，M為PQ中點．

（1）求證：△ADP∽△ABQ；

（2）若AD=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設DP=x，BM2=y，求y與x的函數關系式，并求線段BM的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化．當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y=x2-20x+125（0＜x＜20）．．（3）a＞12.5．

【解析】

試題分析：（1）由對應兩角相等，證明兩個三角形相似；

（2）如解答圖所示，過點M作MN⊥QC于點N，由此構造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y與x的函數關系式，這是一個二次函數，求出其最小值；

（3）如解答圖所示，當點M落在矩形ABCD外部時，須滿足的條件是“BE＞MN”．分別求出BE與MN的表達式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍．

試題解析：（1）證明：∵∠QAP=∠BAD=90°，

∴∠QAB=∠PAD，

又∵∠ABQ=∠ADP=90°，

∴△ADP∽△ABQ．

（2）解：∵△ADP∽△ABQ，

∴，

即，解得QB=2x．

∵DP=x，CD=AB=20，

∴PC=CD-DP=20-x．

如圖所示，過點M作MN⊥QC于點N，

∵MN⊥QC，CD⊥QC，點M為PQ中點，

∴點N為QC中點，MN為中位線，

∴MN=PC=（20-x）=10-x，

BN=QC-BC=（BC+QB）-BC=（10+2x）-10=x-5．

在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10-x）2+（x-5）2=x2-20x+125，

∴y=x2-20x+125（0＜x＜20）．

∵y=x2-20x+125=（x-8）2+45，

∴當x=8即DP=8時，y取得最小值為45，BM的最小值為．

（3）解：設PQ與AB交于點E．

如圖所示，點M落在矩形ABCD外部，須滿足的條件是BE＞MN．

∵△ADP∽△ABQ，

∴，，解得QB=

∵AB∥CD，

∴△QBE∽△QCP，

∴，即，解得BE=．

∵MN為中位線，

∴MN=PC=（a-8）．

∵BE＞MN，

∴（a-8），解得a＞12.5．

∴當點M落在矩形ABCD外部時，a的取值范圍為：a＞12.5．