Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥BC于點E，且∠BDE=∠A．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系并說明理由；

（2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）DE與⊙O相切．理由見解析；（2）5.

【解析】試題分析：（1）連接DO，BD，如圖，由于∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，則∠ADO=∠EDB，再根據圓周角定理得∠ADB=90°，所以∠ADO+∠ODB=90°，于是得到∠ODB+∠EDB=90°，然后根據切線的判定定理可判斷DE為⊙O的切線；

（2）利用等角的余角相等得∠ABD=∠EBD，加上BD⊥AC，根據等腰三角形的判定方法得△ABC為等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在Rt△ABD中利用正切定義可計算出BD=6，再根據勾股定理計算出AB，從而得到⊙O的半徑．

試題解析：（1）DE與⊙O相切．理由如下：

連接DO，BD，如圖，

∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，

∴∠ADO=∠EDB，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵∠BDE=∠A，

∴∠ABD=∠EBD，

而BD⊥AC，

∴△ABC為等腰三角形，

∴AD=CD=AC=8，

在Rt△ABD中，

∵tanA=，

∴BD=×8=6，

∴AB==10，

∴⊙O的半徑為5．