Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在x軸負半軸上，頂點C在x軸正半軸上，頂點B在第一象限，過點B作BD⊥y軸于點D，線段OA，OC的長是一元二次方程x2-12x+36=0的兩根，BC=4，∠BAC=45°．

（1）求點A，C的坐標；

（2）反比例函數y=的圖象經過點B，求k的值；

（3）在y軸上是否存在點P，使以P，B，D為頂點的三角形與以P，O，A為頂點的三角形相似？若存在，請寫出滿足條件的點P的個數，并直接寫出其中兩個點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） A（-6，0），C（6，0）；（2） 16．（3） （0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，4-2）．

【解析】

試題分析：（1）解一元二次方程x2-12x+36=0，求出兩根即可得到點A，C的坐標；

（2）過點B作BE⊥AC，垂足為E，由∠BAC=45°可知AE=BE，設BE=x，用勾股定理可得CE=，根據AE+CE=OA+OC，解方程求出BE，再由AE-OA=OE，即可求出點B的坐標，然后求出k的值；

（3）分類討論，根據相似三角形對應邊成比例求出點P的坐標．

試題解析：（1）解一元二次方程x2-12x+36=0，解得：x1=x2=6，

∴OA=OC=6，

∴A（-6，0），C（6，0）；

（2）如圖1，過點B作BE⊥AC，垂足為E，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，

設BE=x，

∵BC=4，

∴CE=，

∵AE+CE=OA+OC，

∴x+=12，

整理得：x2-12x+32=0，

解得：x1=4（不合題意舍去），x2=8

∴BE=8，OE=8-6=2，

∴B（2，8），

把B（2，8）代入y=，得k=16．

（3）存在．

如圖2，若點P在OD上，若△PDB∽△AOP，

則，

即

解得：OP=2或OP=6

∴P（0，2）或P（0，6）；

如圖3，若點P在OD上方，△PDB∽△AOP，

則，

即，

解得：OP=12，

∴P（0，12）；

如圖4，若點P在OD上方，△BDP∽△AOP，

則，

即，

解得：OP=4+2或OP=4-2（不合題意舍去），

∴P（0，4+2）；

如圖，若點P在y軸負半軸，△PDB∽△AOP，

則，即，解得：OP=-4+2或-4-2（不合題意舍去），則P點坐標為（0，4-2）

∴點P的坐標為：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，4-2）．