Question

【題目】在平面直角坐標系中，點在軸的正半軸上，點在直線上．

（1）若點，求點的坐標；

（2）連接，若點，，求的長；

（3）過點作軸于點，且交直線于點．若，，，當時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點的坐標是；（2）；（3）．

【解析】

（1）把點C的坐標代入直線y=x求得a的值；
（2）如圖1，過點C作CE⊥y軸，垂足為點E，構造直角△BEC，利用勾股定理求得BE的長度，然后由BE=BO-OE列出關于t的方程，通過解方程得到答案；
（3）點D的坐標為（m，m），AM=n．推知Rt△OMD是等腰直角三角形，故DM=AM-AD，即m=n-
①如圖2，當點C在點D左側時，過點B，點C分別作BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分別為點E，點F，構造全等三角形：△ABE≌△CAF．結合該全等三角形的性質知DF=BE-AD=m-．在Rt△DCF中，利用勾股定理求得CD= =，根據題意列出不等式并解答；
②如圖3，當點C在點D右側時，同理可求，DF=m+，CD=m+2，由1≤CD≤2，得到不等式并解答．

（1）把代入，得

，

解得．

所以點的坐標是．

（2）點在直線上，不妨設點的坐標為．

如圖1，過點作軸，垂足為點，

∴在中，，，

∴．

又∵，

∴，

∴在中，，

∴，

∴．

又∵，且點，

∴，

解得．

∴．

（3）∵，，且，

∴點在直線上方．

∵軸于點，

且交直線于點，，

∴點的坐標為，．

∴在中，，，

∴，

∵，，

∴，即．

如圖2，當點在點左側時，

過點，點分別作，，垂足分別為點，點，

∴，，．

∵，

∴，．

∵中，，

∴．

又∵，

∴．

∴．

∵，且，

∴．

在中，，

∴，

∴

．

∵，即，

∴．

如圖3，當點在點右側時，

同理可求，，，

由，

求得，不符合題意．

綜上，．