Question

【題目】如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求證：AC是⊙O的切線：

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OA、OD，

∵D為弧BE的中點，∴OD⊥BC。

∴∠DOF=90°。∴∠D+∠OFD=90°。

∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D。

∵∠CFA=∠OFD，∴∠OAD+∠CAF=90°。

∴OA⊥AC。

∵OA為半徑，∴AC是⊙O切線。

（2）當F在半徑OE上時，∵⊙O半徑是r，∴OD=r，OF=8﹣r。

在Rt△DOF中，r2+（8﹣r）2=（）2，解得r=或r=（舍去）；

當F在半徑OB上時，∵⊙O半徑是r，∴OD=r，OF=r﹣8。

在Rt△DOF中，r2+（r﹣8）2=（）2，解得r=或r=（舍去）。

∴⊙O的半徑r為。