Question

【題目】如圖1，已知點，，且、滿足，的邊與軸交于點，且為中點，雙曲線經過、兩點．

（1）求的值；

（2）點在雙曲線上，點在軸上，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點、的坐標；

（3）以線段為對角線作正方形（如圖，點是邊上一動點，是的中點，，交于，當在上運動時，的值是否發生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；，；，；（3）的值不發生改變.

【解析】

（1）先根據非負數的性質求出、的值，故可得出、兩點的坐標，設，由，可知，再根據反比例函數的性質求出的值即可；

（2）由（1）知可知反比例函數的解析式為，再由點在雙曲線上，點在軸上，設，，再分以為邊和以為對角線兩種情況求出的值，故可得出、的坐標；

（3）連、、，易證，故，，由此即可得出結論．

（1），

，

解得：，

，，

為中點，

，

設，

又，

，

，

，

；

（2）由（1）知，

反比例函數的解析式為，

點在雙曲線上，點在軸上，

設，，

①當為邊時：

如圖1，若為平行四邊形，

則，

解得，

此時，；

如圖2，若為平行四邊形，

則，

解得，

此時，；

②如圖3，當為對角線時，

，且；

，

解得，

，；

故，；，；，；

（3）的值不發生改變，

理由：如圖4，連、、，

是線段的垂直平分線，

，

四邊形是正方形，

，

在與中，，

，

，

，

四邊形中，，而，

所以，，所以，四邊形內角和為，

所以．

，

．