Question

已知：如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），動點P從點O出發，沿著x軸正方向以每秒2個單位長度的速度移動．過點P作PQ垂直于直線OA，垂足為點Q，設點P移動的時間t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S．

（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式；

（2）如果將△OPQ繞著點P按逆時針方向旋轉90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或頂點Q在拋物線上？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）求出S與t的函數關系式．

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），然后把點A、B的坐標代入求出a、b的值，即可得解；

（2）根據旋轉的性質求出點O、Q的坐標，然后分別代入拋物線解析式，求解即可；

（3）求出點Q與點A重合時的t=1，點P與點C重合時的t=1.5，t=2時PQ經過點B，然后分①0＜t≤1時，重疊部分的面積等于△POQ的面積，②1＜t≤1.5時，重疊部分的面積等于兩個等腰直角三角形的面積的差，③1.5＜t＜2時，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個等腰直角三角形的面積分別列式整理即可得解．

【解答】解：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），

把點A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，

，

解得：，

故拋物線解析式為y=x²﹣x；

（2）如圖1，∵點P從點O出發速度是每秒2個單位長度，

∴OP=2t，

∴點P的坐標為（2t，0），

∵A（1，﹣1），

∴∠AOC=45°，

∴點Q到x軸、y軸的距離都是OP=×2t=t，

∴點Q的坐標為（t，﹣t）；

∵△OPQ繞著點P按逆時針方向旋轉90°，

∴旋轉后點O、Q的對應點的坐標分別為（2t，﹣2t），（3t，﹣t），

若頂點O在拋物線上，則×（2t）²﹣×（2t）=﹣2t，

解得：t=，

若頂點Q在拋物線上，則×（3t）²﹣×（3t）=﹣t，

解得：t=1，

綜上所述，存在t=或1，使得△OPQ的頂點O或頂點Q在拋物線上；

（3）如圖2，點Q與點A重合時，OP=1×2=2，t=2÷2=1，

點P與點C重合時，OP=3，t=3÷2=1.5，

t=2時，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此時PQ經過點B，

所以，分三種情況討論：

①0＜t≤1時，重疊部分的面積等于△POQ的面積，S=×（2t）×=t²，

②1＜t≤1.5時，重疊部分的面積等于兩個等腰直角三角形的面積的差，

S=×（2t）×﹣×（t﹣）²=2t﹣1；

③1.5＜t＜2時，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個等腰直角三角形的面積

S=×（2+3）×1﹣×[1﹣（2t﹣3）]²=﹣2（t﹣2）²+；

所以，S與t的關系式為S=．

【點評】此題主要考查了二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，等腰直角三角形的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，難點在于（3）隨著運動時間的變化，根據重疊部分的形狀的不同分情況討論，作出圖形更形象直觀．