Question

平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在函數y₁=（x＞0）與y₂=﹣（x＜0）的圖象上，A、B的橫坐標分別為

a、b．

（1）若AB∥x軸，求△OAB的面積；

（2）若△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；

（3）作邊長為3的正方形ACDE，使AC∥x軸，點D在點A的左上方，那么，對大于或等于4的任意實數a，CD邊與函數y₁=（x＞0）的圖象都有交點，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】反比例函數綜合題．

【專題】代數幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）如圖1，AB交y軸于C，由于AB∥x軸，根據k的幾何意義得到S_△OAC=2，S_△OBC=2，所以S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；

（2）根據函數圖象上點的坐標特征得A、B的縱坐標分別為、﹣，根據兩點間的距離公式得到OA²=a²+（）²，OB²=b²+（﹣）²，則利用等腰三角形的性質得到a²+（）²=b²+（﹣）²，變形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣=0，易得ab=﹣4；

（3）由于a≥4，AC=3，則可判斷直線CD在y軸的右側，直線CD與函數y₁=（x＞0）的圖象一定有交點，設直線CD與函數y₁=（x＞0）的圖象交點為F，由于A點坐標為（a，），正方形ACDE的邊長為3，則得到C點坐標為（a﹣3，），F點的坐標為（a﹣3，），所以FC=﹣，然后比較FC與3的大小，由于3﹣FC=3﹣（﹣）=，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判斷點F在線段DC上．

【解答】解：（1）如圖1，AB交y軸于C，

∵AB∥x軸，

∴S_△OAC=×|4|=2，S_△OBC=×|﹣4|=2，

∴S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；

（2）∵A、B的橫坐標分別為a、b，

∴A、B的縱坐標分別為、﹣，

∴OA²=a²+（）²，OB²=b²+（﹣）²，

∵△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴a²+（）²=b²+（﹣）²，

∴a²﹣b²+（）²﹣（）²=0，

∴a²﹣b²+=0，

∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，

∵a+b≠0，a＞0，b＜0，

∴1﹣=0，

∴ab=﹣4；

（3）∵a≥4，

而AC=3，

∴直線CD在y軸的右側，直線CD與函數y₁=（x＞0）的圖象一定有交點，

設直線CD與函數y₁=（x＞0）的圖象交點為F，如圖2，

∵A點坐標為（a，），正方形ACDE的邊長為3，

∴C點坐標為（a﹣3，），

∴F點的坐標為（a﹣3，），

∴FC=﹣，

∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，

而a≥4，

∴3﹣FC≥0，即FC≤3，

∵CD=3，

∴點F在線段DC上，

即對大于或等于4的任意實數a，CD邊與函數y₁=（x＞0）的圖象都有交點．

【點評】本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數比例系數的幾何意義、圖形與坐標和正方形的性質；會利用求差法對代數式比較大小．