Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點重合），且DE=DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F．

（1）①∠BCE與∠CDF的大小關系是_______________；

②證明：GF⊥BF；

（2）探究G落在邊DC的什么位置時，BF=BC，請說明理由.

Answer 1

【答案】 (1)①∠BCE=∠CDF②見解析;(2) 當G落在線段DC的中點時，BF=BC，理由見解析.

【解析】分析：

（1）①由DF⊥CE可得∠DFC=90°，從而可得∠CDF+∠DCF=90°，結合∠DCF+∠BCE=90°可得∠BCE=∠CDF；

②由已知條件易證△DEF∽△CDF，從而可得,結合①中所得∠BCE=∠CDF可得△DGF∽△BCF，由此可得∠DFG=∠BFC，結合∠DFG+∠GFC =90度可得∠BFC+∠GFC=90°，由此可得∠GFB=90°，從而可得GF⊥BF；

（2）連接BG，若BF=BC，則由（1）中所得∠GFB=90°結合∠BCG=90°，易得△BFG≌△BCG，由此可得GF=GC，在Rt△DFC中，再證GF=GD，即可得到此時點G是CD的中點，由此可知，當點G是CD的中點時，BF=BG.

詳解：

（1）①∠BCE=∠CDF

②∵四邊形ABCD為正方形

∴CD⊥AD，CB=CD

∵DF⊥CE

∴△DEF∽△CDF

∴

又∵DE=DG，BC=CD

∴

由①知∠BCE=∠CDF

∴△DGF∽△BCF

∴∠DFG=∠BFC

∴∠DFG+∠GFC =∠BFC+∠GFC

即∠GFB=∠DFC=900

∴GF⊥BF

（2）當G落在線段DC的中點時，BF=BC，理由如下：

連接BG，由已知和以上結論知,△BFG和△BCG都是直角三角形,

若BF=BC，又BG=BG

∴Rt△BFG≌Rt△BCG

∴CG=FG

又∵△DFC為直角三角形

∴G為DC的中點.

故當G落在線段DC的中點時，BF=BC.