Question

【題目】如圖所示，有若干邊長為1的正方形卡片，第1次并排擺2張黑色卡片，鋪成一個長方形；第2次在黑色卡片上方和右側擺白色卡片，所有卡片鋪成了一個較大的長方形；第3次繼續在白色卡片上方和右側擺黑色卡片，所有卡片鋪成了一個更大的長方形；以此類推，請解決以下問題：

（1）僅第10次要用去______張卡片,擺完第10次后，總共用去_______張卡片.

（2）你知道 2+4+6+8+……+2n的結果是多少嗎？寫出結果，結合圖形規律說明你的理由.

（3）求出從第51次至第100次所擺卡片的數量之和.

Answer 1

【答案】（1）20，110；（2）2+4+6+8+……+2n= n(n+1)；（3）從第51次至第100次所擺卡片的數量之和7550.

【解析】

（1）觀察圖形可知：第1次共用去卡片2張，可以看成水平方向1張，豎直方向1張；第2次共用去卡片4張，可以看成水平方向2張，豎直方向2張；依次類推，可得：第n次共用去卡片2n張，可以看成水平方向n張，豎直方向n張.由此得到第10次共用去卡片20張，前10次共用去的卡片=2(1+2+3+……+9+10)，計算即可.

（2）根據2+4+6+8+……+2n表示擺完第n次后共用去的卡片數.由圖形可知：這些卡片共有n(n+1)張，即可得到結論；

（3） 用前100次用去的卡片數－前50次共用去的卡片數即可得到結論.

（1）觀察圖形可知：第1次共用去卡片2張，可以看成水平方向1張，豎直方向1張；

第2次共用去卡片4張，可以看成水平方向2張，豎直方向2張；

第3次共用去卡片6張，可以看成水平方向3張，豎直方向3張；

……

第n次共用去卡片2n張，可以看成水平方向n張，豎直方向n張.

由此得到第10次共用去卡片20張，前10次共用去卡片=2(1+2+3+……+9+10)==110.

故答案為：20，110.

（2）2+4+6+8+……+2n=n(n+1).

因為2+4+6+8+……+2n表示擺完第n次后共用去的卡片數.

根據圖形可知：這些卡片共有n(n+1)張，

所以2+4+6+8+……+2n= n(n+1).

（3） 擺完第50次共用去50×(50+1)塊卡片；

擺完第100次共用去100×(100+1)塊卡片；

從第51次至第100次所擺卡片的數量之和為：

100×(100+1)-50×(50+1)=7550.

答：從第51次至第100次所擺卡片的數量之和7550.