Question

【題目】如圖1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D，E分別在CB，CA上，且CD＝CE，連AD，BE，F為AD的中點，連CF．

（1）求證：CF＝BE，且CF⊥BE；

（2）將△CDE繞點C順時針旋轉一個銳角（如圖2），其它條件不變，此時（1）中的結論是否仍成立？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1見解析；（2）仍成立．

【解析】

（1）只要證明△ACD≌△BCE（SAS），即可解決問題；

（2）此時仍有CF＝BE、CF⊥BE．如圖2中，延長CF至G，使FG＝CF，連接GA，只要證明△DFC≌△AFG（SAS），△BCE≌△CAG（SAS），即可解決問題；

解：（1）如圖1中，

在△ACD和△BCE中，

∵CA=CB，

∠ACD=∠BCE，

CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE、∠CAD＝∠CBE，

∵F為AD中點，∠ACD＝90°，

∴FC＝AF＝AD，

∴CF＝BE，∠CAD＝∠ACF，

∴∠CBE＝∠ACF，

∴∠CBE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠BCE＝90°，

∴CF⊥BE；

（2）此時仍有CF＝BE、CF⊥BE．

理由：如圖2中，延長CF至G，使FG＝CF，連接GA，

在△CDF和△GAF中，

∵DF=AF，

∠DFC=∠AFG，

CF=AF，

∴△DFC≌△AFG（SAS），

∴GA＝CD，∠FDC＝∠FAG，

∴AG∥DC，AG＝CE，

∴∠GAC+∠DCA＝180°，

又∵∠BCE+∠DCA＝∠BCA+∠ACD+∠ECA＝∠BCA+∠ECD＝180°，

∴∠GAC＝∠BCE，

在△BCE和△CAG中，

∵BC=CA，

∠BCE=∠CAG，

CE=AG，

∴△BCE≌△CAG（SAS），

∴CG＝BE，∠CBE＝∠ACG，

∴CF＝BE，∠CBE+∠BCF＝∠BCA＝90°，

∴CF⊥BE．