Question

已知：中，，中，,. 連接、點、、分別為、、的中點.

(1) 如圖1，若、、三點在同一直線上，且，則的形狀是__________，此時________；
(2) 如圖2，若、、三點在同一直線上，且，證明，并計算的值（用含的式子表示）；
(3) 在圖2中，固定，將繞點旋轉，直接寫出的最大值.

Answer 1

(1)等邊三角形，1
(2)
(3)

試題分析:解：(1)等邊三角形，1；(每空1分)    ------------------------2分
（2）證明：連接、.

由題意，得，,.
∵ 、、三點在同一直線上，
∴ 、、三點在同一直線上.
∴ .
∵ 為中點，
∴ 在Rt△中，.
在Rt△中，.
∴ .---------------------------3分
∴ 、、、四點都在以為圓心，為半徑的圓上.
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ .   ----------------------------------4分
∴ .
由題意，，又.
∴ .------------------------------------5分
∴ .
在Rt中，.
∵ ，   
∴ .
∴ .------------------------------6分
（3）.--------------------------------7分
點評：這類問題很復雜，對于學有余力的學生來說可以深鉆，解答這類試題的關鍵就在于巧妙地作出輔助線，輔助線找出來以后，試題便可迎刃而解。另外這類試題涉及的角度一般都是常見的特殊角，需要考生牢記，或者可以直接約分，所以一般不需在計算上出難題。