Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAD是△ABC的一個外角，∠BAC、∠BAD的平分線分別交⊙O于點(diǎn)E、F．請你在圖上連接EF．（1）證明：EF是⊙O的直徑；（2）請你判斷EF與BC有怎樣的位置關(guān)系？并請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】 (1)詳見解析；（2）EF垂直平分BC，證明詳見解析.

【解析】

（1）先利用角平分線定義和平角定義計算出∠EAF=90°，則利用圓周角定理的推論得到EF為⊙O的直徑；

（2）由AE平分∠BAC得∠BAE=∠CAE，根據(jù)圓周角定理得=，于是根據(jù)垂徑定理的推論可得EF垂直平分BC．

（1）連接EF．

∵AF平分∠BAD，AE平分∠BAC，∴∠BAF=∠BAD，∠BAE=∠BAC，∴∠BAF+∠BAE=（∠BAD+∠BAC）=×180°=90°，即∠EAF=90°，∴EF為⊙O的直徑．

（2）EF垂直平分BC．理由如下：

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=．

∵EF為⊙O的直徑，∴EF垂直平分BC．