Question

1．已知，如圖所示，直線MA∥NB，∠MAB與∠NBA的平分線交于點C，過點C作一條直線l與兩條直線MA、NB分別相交于點D、E．
（1）當點D在射線AM上，E在射線BN的延長線上（如圖①）時，求證：AD+BE=AB；
（2）如圖②、圖③，線段AD、BE、AB之間又有怎樣的數量關系？寫出猜想，不需要證明；
（3）若S_△ABC=2S_△ADC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，則BE=2，

Answer 1

分析 （1）如圖①在AB上截取AG=AD，連接CG，利用三角形全等的判定定理可判斷出BG=BE，即AD+BE=AB；
（2）如圖②，可以在AD上截取線段等于AB，如圖③，可在BE上截取線段等于AB，仿照（1）的證明方法來證明；
（3）本問題如圖①，高AB邊上的高為h_AB，利用面積公式可求得．

解答 解：（1）在AB上截取AG=AD，連接CG．
∵AC平分∠MAB，
∴∠DAC=∠CAB（角平分線定義），
在△ADC和△AGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC（公共邊）}\\{∠DAC=∠CAB（已證）}\\{AD=AG（輔助線的作法）}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AGC（SAS），
∴∠DCA=∠ACG（全等三角形的對應邊相等），
∵AM∥BN（已知），
∴∠DAB+∠ABE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）
即：∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°，
∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE（角平線定義），
∴∠CAB+∠GBC=90°，
∴∠ACB=90°（三角形內角和定理）
即∠ACG+∠GCB=90°，
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠GCB=∠ECB（等角的余角相等），
在△BGE和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCB=∠ECB（已證）}\\{∠ABC=∠CBE（已證）}\\{BC=BC（公共邊）}\end{array}\right.$，
∴△BGC≌△BEC（AAS）．
∴BG=BE（全等三角形的對應邊相等）
∴AD+BE=AG+BG，AD+BE=AB．
（2）當點D在射線AM上、點E在射線BN的反向延長線上時（如圖②），AD-BE=AB．
當點D在射線AM的反向延長線上，點E在射線BN上時（如圖③），BE-AD=AB．
（3）如圖①，設△ABC邊上的高為h_AB，則
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•{h}_{AB}$，${S}_{△ADC}={S}_{△AGC}=\frac{1}{2}AG•{h}_{AB}$，
∵S_△ABC=2S_△AD
∴$\frac{1}{2}AB•{h}_{AB}=2×\frac{1}{2}AG•{h}_{AB}$，
∴AB=2AG，BG=AG，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，
AB=2CB，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$BC，
又∵${S}_{△ABC}=2\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}AC•BC=2\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}×\sqrt{3}BC•BC=2\sqrt{3}$，
∴BC=2，AB=4，
∴AG=BG=2，
∴BE=BG=2．

點評 本試題是證明線段的和差問題，常常利用“截長補短”的方法，即：在較長線段上截取一段線等于已知線段，把各線段放在一條線段上，利用線段和差求解．此類題常要借助全等三角形來解決．