Question

已知實數a，b，c滿足a+b+c=1，

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=1，求abc的值．

Answer 1

考點：分式的化簡求值

專題：

分析：首先求出a+b-c=1-2c，b+c-a=1-2a，c+a-b=1-2b，得到

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=

3-4(a+b+c)+4(ab+ac+bc)

1-2(a+b+c)+4(ab+ac+bc)-8abc

，借助

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=1，即可解決問題．

解答：解：∵a+b+c=1，
∴a+b-c=1-2c，b+c-a=1-2a，c+a-b=1-2b，
∴

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=

1

1-2a

+

1

1-2b

+

1

1-2c

=

(1-2b)(1-2c)+(1-2a)(1-2c)+(1-2a)(1-2b)

(1-2a)(1-2b)(1-2c)

=

1-2c-2b+4bc+1-2c-2a+4ac+1-2b-2a+4ab

(1-2a-2b+4ab)(1-2c)

=

3-4(a+b+c)+4(ab+ac+bc)

1-2(a+b+c)+4(ab+ac+bc)-8abc

，
∵

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=1，
∴-1+4（ab+ac+bc）=-1+4（ab+ac+bc）-8abc，
∴abc=0．

點評：該題主要考查了分式的混合運算法則及其應用問題；靈活運用分式的混合運算法則來變形、化簡、運算是解題的關鍵．