Question

如圖，∴P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長BP交邊AD于點F，交CD的延長線于點G．

（1）求證：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA＝1：2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y．
①求y與x的函數關系式；
②當x＝6時，求線段FG的長．

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB。∠DAP=∠BAP。
∵在△APB和△APD中，，
∴△APB≌△APD（SAS）。
（2）①∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC。
∴△AFP∽△CBP。∴。
∵DF：FA＝1：2，∴AF：BC＝3：3。∴。
由（1）知，PB=PD=x，又∵PF=y，∴。
∴，即ｙ與x的函數關系式為。
②當x＝6時，，∴。
∵DG∥AB，∴△DFG∽△AFB。∴。∴。
∴，即線段FG的長為5。

解析試題分析：（1）由菱形的性質得到AB=AD，∠DAP=∠BAP，加上公共邊AP=AP，根據SAS即可證得結論。
（2）①由△AFP∽△CBP列比例式即可得到ｙ與x的函數關系式。
②由函數關系式求得PF的長，從而得到FB的長，由△DFG∽△AFB列比例式即可得到線段FG的長。