Question

如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立。

（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G。
求證：BD⊥CF。
（3）在（2）小題的條件下, AC與BG的交點為M， 當AB=4，AD=時，求線段CM的長。

Answer 1

解：（1）BD=CF成立。理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
（2）證明：∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM=∠GCM。
又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。
∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。
（3）過點F作FN⊥AC于點N。

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∴。
∴AN=FN=AE=1。
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC﹣AN=3，。
∴在Rt△FCN中，，
在Rt△ABM中，。
∴AM=。
∴CM=AC－AM=4－。

解析試題分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得BD=CF。
（2）由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據相似三角形的對應角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF。
（3）首先過點F作FN⊥AC于點N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN的長，又由等角的三角函數值相等，可求得AM=。從而可求得線段CM的長。