Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點D、E，過點D作DF⊥AC于點F．

（1）若⊙O的半徑為3，∠CDF=15°，求陰影部分的面積；

（2）求證：DF是⊙O的切線；

（3）求證：∠EDF=∠DAC．

Answer 1

【答案】（1）陰影部分的面積為3π﹣；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）連接OE，過O作OM⊥AC于M，求出AE、OM的長和∠AOE的度數，分別求出△AOE和扇形AOE的面積，即可求出答案；

（2）連接OD，求出OD⊥DF，根據切線的判定求出即可；

（3）連接BE，求出∠FDC=∠EBC，∠FDC=∠EDF，即可求出答案．

詳（1）解： 連接OE，過O作OM⊥AC于M，則∠AMO=90°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC=90°，

∵∠FDC=15°，

∴∠C=180°-90°-15°=75°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=75°，

∴∠BAC=180°-∠ABC∠C=30°，

∴OM=OA=×3=，AM=OM=，

∵OA=OE，OM⊥AC，

∴AE=2AM=3，

∴∠BAC=∠AEO=30°，

∴∠AOE=180°-30°-30°=120°，

∴陰影部分的面積S=S扇形AOE-S△AOE=；

（2）證明：連接OD，

∵AB=AC，OB=OD，

∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴AC∥OD，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD過O，

∴DF是⊙O的切線；

（3）證明：連接BE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴BE∥DF，

∴∠FDC=∠EBC，

∵∠EBC=∠DAC，

∴∠FDC=∠DAC，

∵A、B、D、E四點共圓，

∴∠DEF=∠ABC，

∵∠ABC=∠C，

∴∠DEC=∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠EDF=∠FDC，

∴∠EDF=∠DAC．