Question

【題目】如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠ACB=60°．

(1)求∠P的度數；

(2)若⊙O的半徑長為2cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)∠P=60°；(2)4-π．

【解析】

(1)先證明∠P=180°-∠AOB，根據∠AOB=2∠ACB求出∠AOB即可解決問題．

(2)連接OP，如圖，根據切線的性質和切線長定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，則根據四邊形內角和得到∠AOB=180°-∠APB=120°，再在Rt△PAO中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AP=OA=2，則S△PAO=2，然后根據扇形面積公式，利用陰影部分的面積=S四邊形AOBP-S扇形AOB進行計算．

解：(1)連接OA、OB，

∵PA、PB是⊙O切線，

∴PA⊥OA，PB⊥OB，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，

∴∠P=180°-∠AOB，

∵∠ACB=60°，

∴∠AOB=2∠ACB=120°，

∴∠P=180°-120°=60°，

(2)如圖，連接OP，

∵PA，PB是⊙O的兩條切線，

∴OA⊥AP，OB⊥PB，OP平分∠APB，

∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=×60°=30°，

∴∠AOB=180°-∠APB=180°-60°=120°，

在Rt△PAO中，∵OA=2，∠APO=30°，

∴AP=OA=2，

∴S△PAO=×2×2=2，

∴陰影部分的面積=S四邊形AOBP-S扇形AOB=2×2-=4-π．