Question

【題目】如圖，點E是矩形ABCD的邊AD的中點，且BE⊥AC于點F，則下列結論中錯誤的是（ ）

A.AF＝CF

B.∠DCF＝∠DFC

C.圖中與△AEF相似的三角形共有5個

D.tan∠CAD＝

Answer 1

【答案】D

【解析】

由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以，故A正確，不符合題意；

過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根據線段的垂直平分線的性質可得結論，故B正確，不符合題意；

根據相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；

由△BAE∽△ADC，得到CD與AD的大小關系，根據正切函數可求tan∠CAD的值，故D錯誤，符合題意．

解：A、∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴＝，

∵AE＝AD＝BC，

∴＝，故A正確，不符合題意；

B、過D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM＝DE＝BC，

∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF＝DC，

∴∠DCF＝∠DFC，故B正確，不符合題意；

C、圖中與△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5個，故C正確，不符合題意．

D、設AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有＝．

∵tan∠CAD＝＝＝，故D錯誤，符合題意．

故選：D．