Question

【題目】已知拋物線．

（1）求證：拋物線與軸必定有公共點；

（2）若P（，y1），Q（－2，y2）是拋物線上的兩點，且y1y2，求的取值范圍；

（3）設拋物線與x軸交于點、，點A在點B的左側，與y軸負半軸交于點C，且，若點D是直線BC下方拋物線上一點，連接AD交BC于點E，記△ACE的面積為S1，△DCE的面積為S2，求是否有最值？若有，求出該最值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或，（3）沒有最小值；有最大值是

【解析】分析：（1）本題需先根據判別式解出無論m為任何實數都大于零，再判斷出物線與x軸總有交點．

（2）分兩種情況：當點P在對稱軸的左側時，隨的增大而減小，得；當點P在對稱軸的右側時，隨的增大而增大，，故得解.

詳解：（1）令 得

∴

∴

無論取何值，

∴ 拋物線與軸必定有公共點

（2）∵，拋物線的對稱軸是

當點P在對稱軸的左側時，隨的增大而減小，

∵y1y2，

當點P在對稱軸的右側時，隨的增大而增大，

Q（－2，y2）關于對稱軸的對稱點是（3，y2）

∵y1y2，

綜上所述：或

（3），

∵ 、∴ ，解得或

∴

∴ 、，

∴ 直線BC的解析式是

設點A到直線BC的距離是，點D到直線BC的距離是，

△ACE的面積S1，△DCE的面積S2

∴ ，

∴ 求的最值轉化為求的最值

設過點D與直線BC平行的直線解析式為

當點D在直線BC下方的拋物線上運動時，無最小值，僅當直線與拋物線只有一個公共點時，有最大值

即方程組有兩個相等的實數根

∴， ，

∴，此時

∴ 沒有最小值；有最大值是

∴、