Question

【題目】已知，H為射線OA上一定點，，P為射線OB上一點，M為線段OH上一動點，連接PM，滿足為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉，得到線段PN，連接ON．

（1）依題意補全圖1；

（2）求證：；

（3）點M關于點H的對稱點為Q，連接QP．寫出一個OP的值，使得對于任意的點M總有ON=QP，并證明．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示見解析；（2）見解析；（3）OP=2.證明見解析.

【解析】

（1）根據題意畫出圖形即可．
（2）由旋轉可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形內角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得證．
（3）根據題意畫出圖形，以ON=QP為已知條件反推OP的長度．由（2）的結論∠OMP=∠OPN聯想到其補角相等，又因為旋轉有PM=PN，已具備一邊一角相等，過點N作NC⊥OB于點C，過點P作PD⊥OA于點D，即可構造出△PDM≌△NCP，進而得PD=NC，DM=CP．此時加上ON=QP，則易證得△OCN≌△QDP，所以OC=QD．再設DM=CP=x，所以OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于點M、Q關于點H對稱，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可

解：（1）如圖1所示為所求．

（2）設∠OPM=α，
∵線段PM繞點P順時針旋轉150°得到線段PN
∴∠MPN=150°，PM=PN
∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α
∵∠AOB=30°
∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α
∴∠OMP=∠OPN

（3）OP=2時，總有ON=QP，證明如下：
過點N作NC⊥OB于點C，過點P作PD⊥OA于點D，如圖2

∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°
∵∠AOB=30°，OP=2

∴DH=OH-OD=1
∵∠OMP=∠OPN
∴180°-∠OMP=180°-∠OPN
即∠PMD=∠NPC
在△PDM與△NCP中

∴△PDM≌△NCP（AAS）
∴PD=NC，DM=CP
設DM=CP=x，則OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1
∵點M關于點H的對稱點為Q
∴HQ=MH=x+1
∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x
∴OC=DQ
在△OCN與△QDP中

∴△OCN≌△QDP（SAS）
∴ON=QP