Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，⊙C經過坐標原點O，且與x軸，y軸分別相交于M（4，0），N（0，3）兩點．已知拋物線開口向上，與⊙C交于N，H，P三點，P為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸經過點C且垂直x軸于點D．

（1）求線段CD的長及頂點P的坐標；

（2）求拋物線的函數表達式；

（3）設拋物線交x軸于A，B兩點，在拋物線上是否存在點Q，使得S四邊形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) CD=， P（2，﹣1）；(2) y=x2﹣4x+3；(3) 存在滿足條件的點Q，其坐標為（2，﹣1）．

【解析】試題分析：（1）連接OC，由勾股定理可求得MN的長，則可求得OC的長，由垂徑定理可求得OD的長，在Rt△OCD中，可求得CD的長，則可求得PD的長，可求得P點坐標；（2）可設拋物線的解析式為頂點式，再把N點坐標代入可求得拋物線解析式；（3）由拋物線解析式可求得A、B的坐標，由S四邊形OPMN=8S△QAB可求得點Q到x軸的距離，且點Q只能在x軸的下方，則可求得Q點的坐標，再證明△QAB∽△OBN即可．

試題解析：

（1）如圖，連接OC，

∵M（4，0），N（0，3），

∴OM=4，ON=3，

∴MN=5，

∴OC=MN=，

∵CD為拋物線對稱軸，

∴OD=MD=2，

在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD==，

∴PD=PC﹣CD=﹣=1，

∴P（2，﹣1）；

（2）∵拋物線的頂點為P（2，﹣1），

∴設拋物線的函數表達式為y=a（x﹣2）2﹣1，

∵拋物線過N（0，3），

∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，

∴拋物線的函數表達式為y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴AB=3﹣1=2，

∵ON=3，OM=4，PD=1，

∴S四邊形OPMN=S△OMP+S△OMN=OMPD+OMON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB，

∴S△QAB=1，

設Q點縱坐標為y，則×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，

當y=1時，則△QAB為鈍角三角形，而△OBN為直角三角形，不合題意，舍去，

當y=﹣1時，可知P點即為所求的Q點，

∵D為AB的中點，

∴AD=BD=QD，

∴△QAB為等腰直角三角形，

∵ON=OB=3，

∴△OBN為等腰直角三角形，

∴△QAB∽△OBN，

綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（2，﹣1）．