Question

【題目】如圖，PB切⊙O于點B，聯結PO并延長交⊙O于點E，過點B作BA⊥PE交⊙O于點A，聯結AP，AE．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）如果OD=3，tan∠AEP= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連結OA，OB，

∵PB是⊙O的切線，

∴∠PBO=90°，

∵OA=OB，BA⊥PE于點D，

∴∠POA=∠POB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴PA⊥OA，

∴直線PA為⊙O的切線

（2）在Rt△ADE中，∠ADE=90°，

∵tan∠AEP= = ，

∴設AD=x，DE=2x，

∴OE=2x﹣3．

在Rt△AOD中，由勾股定理，得

（2x﹣3）2=x2+32，

解得x1=4，x2=0（不合題意，舍去），

∴AD=4，OA=OE=2x﹣3=5，

即⊙O的半徑的長5．

【解析】（1）連接OA、OB，根據垂徑定理的知識，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質結合切線的判定定理即可得出結論．（2）根據tan∠AEP= 得出 = ，設AD=x，DE=2x，在Rt△AOD中，由勾股定理得出x，進而就可求得⊙O的半徑．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和切線的判定定理，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．