Question

【題目】如圖，點P是邊長為的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PE⊥BC于點E，PF⊥DC于點F，連接AP并延長，交射線BC于點H，交射線DC于點M，連接EF交AH于點G，當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點），以下結論中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PMPH；④EF的最小值是．其中正確結論是（　　）

A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④

Answer 1

【答案】B

【解析】①錯誤．因為當點P與BD中點重合時，CM=0，顯然FM≠CM；

②正確．連接PC交EF于O．根據對稱性可知∠DAP=∠DCP，

∵四邊形PECF是矩形，

∴OF=OC，

∴∠OCF=∠OFC，

∴∠OFC=∠DAP，

∵∠DAP+∠AMD=90°，

∴∠GFM+∠AMD=90°，

∴∠FGM=90°，

∴AH⊥EF．

③正確．∵AD∥BH，

∴∠DAP=∠H，

∵∠DAP=∠PCM，

∴∠PCM=∠H，

∵∠CPM=∠HPC，

∴△CPM∽△HPC，

∴=，

∴PC2=PMPH，

根據對稱性可知：PA=PC，

∴PA2=PMPH．

④正錯誤．∵四邊形PECF是矩形，

∴EF=PC，

∴當CP⊥BD時，PC的值最小，此時A、P、C共線，

∵AC=2，

∴PC的最小值為1，

∴EF的最小值為1；

故選B．