Question

【題目】如圖，直線y=x﹣1與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，已知點A的坐標為（﹣1，m）．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若點P（n，﹣1）是反比例函數圖象上一點，過點P作PE⊥x軸于點E，延長EP交直線AB于點F，求△CEF的面積．

（3）在x軸上是否存在點Q，使得△QBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的表達式為：y=．（2）（3）在x軸上存在點Q，使得△QBC是等腰三角形，Q點坐標為（1+，0）、（1﹣，0）、（2，0）或（3，0）．

【解析】

試題分析：（1）將點A的坐標代入直線AB的解析式中即可求出m的值，根據點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值，從而得出反比例函數解析式；

（2）由直線AB的解析式可求出點C的坐標，將點P的坐標代入反比例函數解析式中可求出n值，從而可得出點E、F的坐標，由此可得出線段EF、CE的長度，再根據三角形的面積公式即可得出結論；

（3）假設存在，設點Q的坐標為（a，0）．聯立直線AB與反比例函數解析式可求出點B的坐標，由此即可得出線段BC、BQ、CQ的長，根據等腰三角形的性質分BC=BQ、BC=CQ以及BQ=CQ三種情況考慮，由此可得出關于a的方程，解方程即可求出點Q的坐標，此題得解．

解：（1）把A（﹣1，m）代入y=x﹣1，

∴m=﹣2，

∴A（﹣1，﹣2）．

∵點A在反比例函數圖象上，

∴k=﹣1×（﹣2）=2，

∴反比例函數的表達式為：y=．

（2）令y=x﹣1中y=0，則0=x﹣1，解得：x=1，

∴C（1，0）．

把P（n，﹣1）代入y=中，得：﹣1=，

解得：n=﹣2，

∴P（﹣2，﹣1）．

∵PE⊥x軸，

∴E（﹣2，0）．

令y=x﹣1中x=﹣2，則y=﹣2﹣1=﹣3，

∴F（﹣2，﹣3）．

∴CE=3，EF=3，

∴S△CEF=CEEF=．

（3）假設存在，設點Q的坐標為（a，0）．

聯立直線AB和反比例函數解析式得：，

解得：或，

∴B（2，1）．

∴BC==，CQ=|a﹣1|，BQ=．

△QBC是等腰三角形分三種情況：

①當BC=CQ時，有=|a﹣1|，

解得：a1=1+，a2=1﹣，

此時點Q的坐標為（1+，0）或（1﹣，0）；

②當CQ=BQ時，有|a﹣1|=，

解得：a3=2，

此時點Q的坐標為（2，0）；

③當BC=BQ時，有=，

解得：a4=3，a5=1，

此時點Q的坐標為（3，0）或（1，0）（舍去）．

綜上可知：在x軸上存在點Q，使得△QBC是等腰三角形，Q點坐標為（1+，0）、（1﹣，0）、（2，0）或（3，0）．