Question

【題目】數學實驗室：

點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB=|a﹣b|．

利用數形結合思想回答下列問題：

①數軸上表示2和5兩點之間的距離是 ，數軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是 ．

②數軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為 ．數軸上表示x和5的兩點之間的距離表示為 ．

③若x表示一個有理數，則|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．

④若x表示一個有理數，且|x+3|+|x﹣2|=5，則滿足條件的所有整數x的是 ．

⑤若x表示一個有理數，當x為 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值為 ．

Answer 1

【答案】①3，4；

②|x+2|，|5﹣x|；

③4；

④﹣3或2；

⑤3，7．

【解析】

試題分析：①②在數軸上A、B兩點之間的距離AB=|a﹣b|，依此即可求解；

④根據絕對值的性質去掉絕對值號，然后計算即可得解；

③首先將原式變形為y=|x﹣1|+|x+3|，然后分別從當x≥1時，當﹣3≤x＜1時，當x＜﹣3時去分析，根據一次函數的增減性，即可求得y的最小值；

④當x＜﹣3時，當﹣3≤x≤2時，當x＞2時去分析，根據一次函數的增減性，即可求得答案；

⑤當x≥5時，當3≤x＜5時，當﹣2≤x＜3時，當x＜﹣2時去分析，根據一次函數的增減性，即可求得y的最小值．

解：①數軸上表示2和5兩點之間的距離是5﹣2=3，數軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是1﹣（﹣3）=4，

故答案為：3，4；

②數軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為|x﹣（﹣2）|=|x+2|，數軸上表示x和5的兩點之間的距離表示為|5﹣x|，

故答案為：|x+2|，|5﹣x|；

③當x＜﹣3時，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2，

當﹣3≤x≤1時，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x+x+3=4，

當x＞1時，|x﹣1|+|x+3|=x﹣1+x+3=2x+2，

在數軸上|x﹣1|+|x+3|的幾何意義是：表示有理數x的點到﹣3及到1的距離之和，所以當﹣3≤x≤1時，它的最小值為4，

故答案為：4；

④當x＜﹣3時，|x+3|+|x﹣2|=﹣x﹣3+2﹣x=﹣2x﹣1=5，

解得：x=﹣3，

此時不符合x＜﹣3，舍去；

當﹣3≤x≤2時，|x+3|+|x﹣2|=x+3+2﹣x=5，

此時x=﹣3或x=2；

當x＞2時，|x+3|+|x﹣2|=x+3+x﹣2=2x+1=5，

解得：x=2，

此時不符合x＞2，舍去；

故答案為：﹣3或2；

⑤∵設y=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，

i、當x≥5時，y=x+2+x﹣3+x﹣5=3x﹣6，

∴當x=5時，y最小為：3x﹣6=3×5﹣6=9；

ii、當3≤x＜5時，y=x+2+x﹣3+5﹣x=x+4，

∴當x=3時，y最小為7；

iii、當﹣2≤x＜3時，y=x+2+3﹣x+5﹣x=10﹣x，

∴此時y最小接近7；

iiii、當x＜﹣2時，y=﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x=6﹣x，

∴此時y最小接近8；

∴y的最小值為7．

故答案為：3，7．